1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Умножение матрицы на число: примеры, свойства, смысл

Умножение матрицы на число: примеры, свойства, смысл

Для того, чтобы произвести умножение матрицы A на произвольное число α, нужно элементы матрицы A умножить на число α, т.е. произведение матрицы на число будет следующим:

Пример 1. Найти матрицу 3A для матрицы

Решение. В соответствии с определением умножим элементы матрицы A на 3 и получим

Это был совсем простой пример умножения матрицы на число с целыми числами. Впереди также простые примеры, но уже такие, где среди множителей и элементов матриц — дроби, переменные (буквенные обозначения), ведь законы умножения действуют не только для целых чисел, так что никогда не вредно их повторить.

Пример 2. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Решение. Умножим элементы матрицы A на α, не забывая, что при умножении дробей числитель первой дроби умножается на числитель первой дроби и произведение записывается в числитель, а знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй дроби и произведение записывается в знаменатель. При получении второго элемента первой строки новой матрицы полученную дробь сократили на 2, это надо делать обязательно. Получаем

Пример 3. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Решение. Умножим элементы матрицы A на α, не путаясь в буквенных обозначениях, не забыв оставить минус перед вторым элементом второй строки новой матрицы, и помня, что результат умножения числа на обратное ему число есть единица (первый элемент третьей строки). Получаем

.

Пример 4. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Решение. Вспоминаем, что при умножении числа в степени на число в степени показатели степеней складываются. Получаем

.

Этот пример, кроме всего прочего, наглядно демонстрирует, что действия умножения матрицы на число могут быть прочитаны (и записаны) в обратном порядке и называется это вынесением постоянного множителя перед матрицей.

В сочетании со сложением и вычитанием матриц операция умножения матрицы на число может образовывать различные матричные выражения, например, 5A − 3B , 4A + 2B .

Пример 5. Даны матрицы и . Вычислить 4A + 2B .

Матрицы и действия над ними

Общая характеристика матрицы

Матрицей размерности m*n называется таблица чисел (элементов), содержащая m строк и n столбцов.

В алгебраических выражениях часто используются специального вида матрицы:

  • Θ — нулевая
  • D — диагональная
  • E — единичная

Если в матрице А переставить соответствующие строки и столбцы местами, то получиться матрица А т , которую называют транспонированной матрицей А.

Пример:

Если число строк и столбцов матрицы совпадает и равно n, то матрица называется квадратной n-го порядка.

Две матрицы А и В одинаковой размерности равны, если все соответствующие элементы матриц равны.

Действия над матрицами

Любую матрицу можно умножить на любое число, при этом все элементы матрицы умножаются на это число.

Две матрицы А и В одинаковой размерности можно сложить, при этом все соответветствующие элементы матриц складываются.

Свойства линейных операций

Две матрицы можно умножить, если число строк второй матрицы равно числу столбцов первой матрицы. При умножении матриц получается матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.

Элементы матрицы произведения С = АВ находятся по формуле:

где l — число строк второй и число столбцов первой матриц.

Свойства умножения матриц:

  • (где Е — единичная матрица)

Пример 9.1 Произведите умножение матриц

Всегда: строки первой матрицы умножаются на столбцы второй матрицы, то есть никогда не будет ситуации когда необходимо будет умножать столбцы первой на строки второй!

Важно: матрицы при умножении нельзя менять местами. — результат умножения будет другим

Логика умножения матриц:

Представим что матрица A=(ayx) является результатом умножения.

Чтобы определить значение элемента ayx (а всего таких элементов =x*y, но в нашем примере a11) необходимо:

  1. Определить в какой строке находится элемент ayx в первой матрице — первая строка (y=1)
  2. Определить в каком столбце находится элемент ayx во второй матрице — первый столбец (x=1)
  3. Умножить каждый коэффициент в первой строке первой матрицы (y = 1) на соответствующий коэффициент первого столбца (x=1) второй матрицы. (=1*1+2*1+3*1=6)
  4. Аналогично находим значения элемента a12 a13 b11 b12 b13 c11 c12 c13 и не забываем что матрице-ответе число строк равно числу строк первой матрицы, а число столбцов — числу столбцов второй матрицы.

Т.е Элемент Cij (элементы в матрице-ответе) = сумме произведений соответствующих элементов i-й строки 1-ой матрицы на элементы j-го столбца 2-ой матрицы.

C11=элементы 1-й строки 1-й матрицы на элементы 1-го столбца 2-й матрицы
С21=2-я строка 1-й матрицы * 1-й столбец 2-й матрицы т.д.

Читать еще:  ТОП-6 Способов Как Поменять Тему в VK

Произведение двух матриц.

Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.

Пошагово умножение матриц разберем на примере. Однако сразу стоит обратить внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу $A$ на матрицу $B$, то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ (такие матрицы часто называют согласованными). Например, матрицу $A_<5times 4>$ (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу $F_<9times 8>$ (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы $A$ не равно количеству строк матрицы $F$, т.е. $4neq 9$. А вот умножить матрицу $A_<5times 4>$ на матрицу $B_<4times 9>$ можно, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. При этом результатом умножения матриц $A_<5times 4>$ и $B_<4times 9>$ будет матрица $C_<5times 9>$, содержащая 5 строк и 9 столбцов:

Заданы матрицы: $ A=left(begin -1 & 2 & -3 & 0 \ 5 & 4 & -2 & 1 \ -8 & 11 & -10 & -5 end right)$ и $ B=left(begin -9 & 3 \ 6 & 20 \ 7 & 0 \ 12 & -4 end right)$. Найти матрицу $C=Acdot B$.

Для начала сразу определим размер матрицы $C$. Так как матрица $A$ имеет размер $3times 4$, а матрица $B$ имеет размер $4times 2$, то размер матрицы $C$ таков: $3times 2$:

Итак, в результате произведения матриц $A$ и $B$ мы должны получить матрицу $C$, состоящую из трёх строк и двух столбцов: $ C=left(begin c_ <11>& c_ <12>\ c_ <21>& c_ <22>\ c_ <31>& c_ <32>end right)$. Если обозначения элементов вызывают вопросы, то можно глянуть предыдущую тему: «Матрицы. Виды матриц. Основные термины», в начале которой поясняется обозначение элементов матрицы. Наша цель: найти значения всех элементов матрицы $C$.

Начнем с элемента $c_<11>$. Чтобы получить элемент $c_<11>$ нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Чтобы найти сам элемент $c_<11>$ нужно перемножить элементы первой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $B$, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:

$ c_<11>=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $

Продолжим решение и найдем $c_<12>$. Для этого придётся перемножить элементы первой строки матрицы $A$ и второго столбца матрицы $B$:

Аналогично предыдущему, имеем:

$ c_<12>=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $

Все элементы первой строки матрицы $C$ найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент $c_<21>$. Чтобы его найти придётся перемножить элементы второй строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Следующий элемент $c_<22>$ находим, перемножая элементы второй строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$ c_<22>=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $

Чтобы найти $c_<31>$ перемножим элементы третьей строки матрицы $A$ на элементы первого столбца матрицы $B$:

$ c_<31>=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $

И, наконец, для нахождения элемента $c_<32>$ придется перемножить элементы третьей строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$ c_<32>=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $

Все элементы матрицы $C$ найдены, осталось лишь записать, что $C=left(begin 0 & 37 \ -23 & 91 \ 8 & 216 end right)$. Или, если уж писать полностью:

$ C=Acdot B =left(begin -1 & 2 & -3 & 0 \ 5 & 4 & -2 & 1 \ -8 & 11 & -10 & -5 end right)cdot left(begin -9 & 3 \ 6 & 20 \ 7 & 0 \ 12 & -4 end right)=left(begin 0 & 37 \ -23 & 91 \ 8 & 216 end right). $

Ответ: $C=left(begin 0 & 37 \ -23 & 91 \ 8 & 216 end right)$.

Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:

$ left(begin 6 & 3 \ -17 & -2 endright)cdot left(begin 4 & 9 \ -6 & 90 end right) =left(begin 6cdot<4>+3cdot(-6) & 6cdot<9>+3cdot <90>\ -17cdot<4>+(-2)cdot(-6) & -17cdot<9>+(-2)cdot <90>end right) =left(begin 6 & 324 \ -56 & -333 end right) $

Стоит также обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно. Это означает, что в общем случае $Acdot Bneq Bcdot A$. Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство $Acdot B=Bcdot A$. Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза «домножим обе части равенства $3E-F=Y$ на матрицу $A$ справа» означает, что требуется получить такое равенство: $(3E-F)cdot A=Ycdot A$.

Читать еще:  Как Включить JavaScript в Браузере - Инструкция для Всех Систем

Умножение матриц в Excel

Следует отметить, что умножать матрицы можно только в том случае, если количество столбцов первой матрицы А равно количеству строк второй матрицы В.

Рассмотрим матрицы А размерностью 3х4 и В размерностью 4х2. При умножении этих матриц получится матрица С размерностью 3х2.

Вычислим произведение этих матриц С=А*В с помощью встроенной функции =МУМНОЖ(). Для этого выделим диапазон L3:M5 — в нём будут располагаться элементы матрицы С, полученной в результате умножения. На вкладке Формулы выберем Вставить функцию.

В диалоговом окне Вставка функции выберем Категория Математические — функция МУМНОЖОК.

В диалоговом окне Аргументы функции выберем диапазоны, содержащие матрицы А и В. Для этого напротив массива1 щёлкнем по красной стрелке.

Выделим диапазон, содержащий элементы матрицы А (имя диапазона появится в строке аргументов), и щелкнем по красной стрелке.

Для массива2 выполним те же действия. Щёлкнем по стрелке напротив массива2.

Выделим диапазон, содержащий элементы матрицы В, и щелкнем по красной стрелке.

В диалоговом окне рядом со строками ввода диапазонов матриц появятся элементы матриц, а внизу — элементы матрицы С. После ввода значений нажимаем на клавиатуре сочетание клавиш Shift+Ctrl и щелкаем левой кнопкой мыши по кнопке ОК.

ВАЖНО. Если просто нажать ОК, то программа вычислит значение только первой ячейки диапазона матрицы С.

Мы получим результат умножения матриц А и В.

Мы можем изменить значения ячеек матриц А и В, значения матрицы С поменяются автоматически.

Некоторые свойства операций над матрицами.

Здесь предполагается, что $alpha$, $beta$ – некоторые числа, а $A$, $B$, $C$ – матрицы. Для первых четырех свойств я указал названия, остальные можно назвать по аналогии с первыми четырьмя.

  1. $A+B=B+A$ (коммутативность сложения)
  2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (ассоциативность сложения)
  3. $(alpha+beta)cdot A=alpha A+beta A$ (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел)
  4. $alphacdot(A+B)=alpha A+alpha B$ (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц)
  5. $A(BC)=(AB)C$
  6. $(alphabeta)A=alpha(beta A)$
  7. $Acdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)cdot A=BA+CA$.
  8. $Acdot E=A$, $Ecdot A=A$, где $E$ – единичная матрица соответствующего порядка.
  9. $Acdot O=O$, $Ocdot A=O$, где $O$ – нулевая матрица соответствующего размера.
  10. $left(A^T right)^T=A$
  11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
  12. $(AB)^T=B^Tcdot A^T$
  13. $left(alpha A right)^T=alpha A^T$

В следующей части будет рассмотрена операция возведения матрицы в целую неотрицательную степень, а также решены примеры, в которых потребуется выполнение нескольких операций над матрицами.

Матрицы и действия над ними

Общая характеристика матрицы

Матрицей размерности m*n называется таблица чисел (элементов), содержащая m строк и n столбцов.

В алгебраических выражениях часто используются специального вида матрицы:

  • Θ — нулевая
  • D — диагональная
  • E — единичная

Если в матрице А переставить соответствующие строки и столбцы местами, то получиться матрица А т , которую называют транспонированной матрицей А.

Пример:

Если число строк и столбцов матрицы совпадает и равно n, то матрица называется квадратной n-го порядка.

Две матрицы А и В одинаковой размерности равны, если все соответствующие элементы матриц равны.

Действия над матрицами

Любую матрицу можно умножить на любое число, при этом все элементы матрицы умножаются на это число.

Две матрицы А и В одинаковой размерности можно сложить, при этом все соответветствующие элементы матриц складываются.

Свойства линейных операций

Две матрицы можно умножить, если число строк второй матрицы равно числу столбцов первой матрицы. При умножении матриц получается матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.

Элементы матрицы произведения С = АВ находятся по формуле:

где l — число строк второй и число столбцов первой матриц.

Свойства умножения матриц:

  • (где Е — единичная матрица)

Пример 9.1 Произведите умножение матриц

Всегда: строки первой матрицы умножаются на столбцы второй матрицы, то есть никогда не будет ситуации когда необходимо будет умножать столбцы первой на строки второй!

Важно: матрицы при умножении нельзя менять местами. — результат умножения будет другим

Логика умножения матриц:

Представим что матрица A=(ayx) является результатом умножения.

Чтобы определить значение элемента ayx (а всего таких элементов =x*y, но в нашем примере a11) необходимо:

  1. Определить в какой строке находится элемент ayx в первой матрице — первая строка (y=1)
  2. Определить в каком столбце находится элемент ayx во второй матрице — первый столбец (x=1)
  3. Умножить каждый коэффициент в первой строке первой матрицы (y = 1) на соответствующий коэффициент первого столбца (x=1) второй матрицы. (=1*1+2*1+3*1=6)
  4. Аналогично находим значения элемента a12 a13 b11 b12 b13 c11 c12 c13 и не забываем что матрице-ответе число строк равно числу строк первой матрицы, а число столбцов — числу столбцов второй матрицы.

Т.е Элемент Cij (элементы в матрице-ответе) = сумме произведений соответствующих элементов i-й строки 1-ой матрицы на элементы j-го столбца 2-ой матрицы.

C11=элементы 1-й строки 1-й матрицы на элементы 1-го столбца 2-й матрицы
С21=2-я строка 1-й матрицы * 1-й столбец 2-й матрицы т.д.

Читать еще:  Как Снять Защиту от Записи с USB Флешки

Свойства умножения матрицы на число

(здесь A, B — матрицы, — числа, 1 — число единица)

1.

2.

3.

4.

Свойства (1) и (2) связывают умножение матрицы на число со сложением матриц. Существует также очень важная связь между умножением матрицы на число и перемножением самих матриц:

5. ,

т. е. если в произведении матриц один из множителей умножается на число, то и всё произведение будет умножаться на число.

Видеоурок

Кратко об авторе:

Шамарина Татьяна Николаевна — учитель физики, информатики и ИКТ, МКОУ «СОШ», с. Саволенка Юхновского района Калужской области. Автор и преподаватель дистанционных курсов по основам компьютерной грамотности, офисным программам. Автор статей, видеоуроков и разработок.

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.

Свойства умножения матрицы на число

(здесь A, B — матрицы, — числа, 1 — число единица)

1.

2.

3.

4.

Свойства (1) и (2) связывают умножение матрицы на число со сложением матриц. Существует также очень важная связь между умножением матрицы на число и перемножением самих матриц:

5. ,

т. е. если в произведении матриц один из множителей умножается на число, то и всё произведение будет умножаться на число.

Матрицы и действия над ними

Общая характеристика матрицы

Матрицей размерности m*n называется таблица чисел (элементов), содержащая m строк и n столбцов.

В алгебраических выражениях часто используются специального вида матрицы:

  • Θ — нулевая
  • D — диагональная
  • E — единичная

Если в матрице А переставить соответствующие строки и столбцы местами, то получиться матрица А т , которую называют транспонированной матрицей А.

Пример:

Если число строк и столбцов матрицы совпадает и равно n, то матрица называется квадратной n-го порядка.

Две матрицы А и В одинаковой размерности равны, если все соответствующие элементы матриц равны.

Действия над матрицами

Любую матрицу можно умножить на любое число, при этом все элементы матрицы умножаются на это число.

Две матрицы А и В одинаковой размерности можно сложить, при этом все соответветствующие элементы матриц складываются.

Свойства линейных операций

Две матрицы можно умножить, если число строк второй матрицы равно числу столбцов первой матрицы. При умножении матриц получается матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.

Элементы матрицы произведения С = АВ находятся по формуле:

где l — число строк второй и число столбцов первой матриц.

Свойства умножения матриц:

  • (где Е — единичная матрица)

Пример 9.1 Произведите умножение матриц

Всегда: строки первой матрицы умножаются на столбцы второй матрицы, то есть никогда не будет ситуации когда необходимо будет умножать столбцы первой на строки второй!

Важно: матрицы при умножении нельзя менять местами. — результат умножения будет другим

Логика умножения матриц:

Представим что матрица A=(ayx) является результатом умножения.

Чтобы определить значение элемента ayx (а всего таких элементов =x*y, но в нашем примере a11) необходимо:

  1. Определить в какой строке находится элемент ayx в первой матрице — первая строка (y=1)
  2. Определить в каком столбце находится элемент ayx во второй матрице — первый столбец (x=1)
  3. Умножить каждый коэффициент в первой строке первой матрицы (y = 1) на соответствующий коэффициент первого столбца (x=1) второй матрицы. (=1*1+2*1+3*1=6)
  4. Аналогично находим значения элемента a12 a13 b11 b12 b13 c11 c12 c13 и не забываем что матрице-ответе число строк равно числу строк первой матрицы, а число столбцов — числу столбцов второй матрицы.

Т.е Элемент Cij (элементы в матрице-ответе) = сумме произведений соответствующих элементов i-й строки 1-ой матрицы на элементы j-го столбца 2-ой матрицы.

C11=элементы 1-й строки 1-й матрицы на элементы 1-го столбца 2-й матрицы
С21=2-я строка 1-й матрицы * 1-й столбец 2-й матрицы т.д.

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector